Tribu du passé avant \(T\) \({\mathcal F}_T\)
Tribu contenant l'ensemble des Evénéments \(A\in{\mathcal F}_\infty\) tels que leur intersection avec \(\{T=n\}\) est \({\mathcal F}_n\)-mesurable. $$\begin{align}{\mathcal F}_T&=\{A\in{\mathcal F}_\infty\mid\forall n\in{\Bbb N},A\cap \{T=n\}\in{\mathcal F}_n\}\\ &=\{A\in{\mathcal F}_\infty\mid\forall n\in{\Bbb N},A\cap \{T\leqslant n\}\in{\mathcal F}_n\}\end{align}$$(avec \(T\) un Temps d'arrêt et \(({\mathcal F}_n)_{n\in\Bbb N}\) une Filtration.

• interprétation : correspond à l'information acquise avant \(T\)
• si \(T=k\) constante, alors \({\mathcal F}_T\) = \({\mathcal F}_k\)
• si \(S\leqslant T\), alors \({\mathcal F}_S\subset{\mathcal F}_T\)
• \({\mathcal F}_{S\land T}=\) \({\mathcal F}_S\cap {\mathcal F}_T\)
• intérêt : la fonction \(X_T:\omega\in\{T\lt +\infty\}\mapsto X_{T(\omega)}(\omega)\) est \({\mathcal F}_T\)-mesurable
    
• on peut étendre cette fonction à \(\Omega\) en posant $$X_T(\omega):=\sum_{n=0}^{+\infty}\Bbb 1_{\{T=n\} }X_n(\omega)+\Bbb 1_{\{T=+\infty\} }X_\infty$$

Questions de cours

Montrer qu'il s'agit bien d'une tribu.

Deux axiomes sont ok, reste la stabilité par le complémentaire.

On a une réécriture qui fonctionne, en passant par le complémentaire d'un élément de \({\mathcal F}_T\).

Démontrer :

Montrons qu'un événement de \({\mathcal F}_S\) est dans \({\mathcal F}_T\).

Puisque \(S\leqslant T\), on peut réécrire avec des intersections.

Démontrer :

Cela revient à montrer qu'on a des événements élémentaires.

L'intersection avec \(\{T=n\}\) permet de transformer \(X_T\) en \(X_n\), ce qui permet de conclure.